<T->
          Matemtica na Medida 
          Certa 6 ano

          Marlia Centurin
          Jos Jakubovic (jakubo)          
 
          Impresso Braille em 
          7 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          So Paulo, 2009 11 edio 
          Editora Scipione  

          Segunda Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2011 --
<P>
          Copyright (C) Marlia 
          Centurin e Jos Jakubovic

          ISBN 978-852627269-9

          Gerente editorial:
          Maria Teresa Porto
          Responsabilidade editorial:
          Elizabeth Soares
          Edio:
          Reny Hernandes
          Assistncia editorial:
          Bruna Derossi
          Cira Maria Sanches

          Direitos desta edio cedidos  Editora Scipione S.A.
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          Lima, 4.400
          6 andar e andar 
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          Freguesia do 
          CEP 02909-900 
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          Caixa Postal 007
          Tel. (11) 3990-1810
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<P>
                                I
Sumrio

Segunda Parte

Captulo 2 -- Geometria
 1- Introduo ::::::::::::: 129
 2- ngulos :::::::::::::::: 147
 3- Polgonos: tringulos, 
  quadrilteros, 
  pentgonos... ::::::::::::: 166
 4- Estudando algumas 
  figuras geomtricas 
  planas :::::::::::::::::::: 174
 Quebra-cabea: ao sobre 
  composio e decomposio 
  de figuras planas ::::::::: 184
 Construindo caixas com forma 
  de paraleleppedo e de 
  pirmide: ao sobre 
  figuras geomtricas 
  espaciais ::::::::::::::::: 201
 5- Estudando algumas 
  figuras geomtricas 
  espaciais ::::::::::::::::: 202
 6- Simetria axial ::::::::: 213
 Em busca do eixo: ao sobre 
  simetria :::::::::::::::::: 221

<53>
<tmat. medida c. 6>
<T+129>
Captulo 2 -- Geometria

<R+>
_`[{o contedo, deste captulo, bem como as atividades propostas, so predominantemente visuais. Para melhor compreenso, pea orientao ao professor_`]
<R->

<54>
1- Introduo

  A geometria  a parte da Matemtica que estuda formas tais como: cilindro, quadrado e paraleleppedo retangular ou bloco retangular.
  Para que estudar essas formas? Que interesse podem ter os qua-
 drados, os blocos retangulares ou os cilindros? Acontece que a maioria dos objetos construdos ou fabricados pelo ser humano se baseia nessas formas ou  composta por elas.
  A forma da leiteira se baseia na do cilindro.
  H edifcios com forma de bloco retangular. H janelas com forma de quadrado.
  H grades baseadas em formas triangulares.
  Assim, com base no estudo das formas, a produo ou construo desses objetos ser facilitada.

Figuras bsicas

  Vamos aproveitar o cubo, figura bastante conhecida, para apresentar algumas figuras geomtricas bsicas.
  No cubo, _`[no adaptado_`] trs faces esto a nossa frente. Essas faces tm em comum apenas o ponto A.
<R+>
  O ponto A
 A  um dos vrtices do cubo.
<R->
  Os matemticos consideram que os pontos so to pequenos que no chegam a ter tamanho. Para representar um ponto, fazemos uma marca bem pequena no papel e para nome-lo usamos uma letra maiscula: A, B, C etc.
<55>
  Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos  direita. Essas faces tm em comum o segmento de reta ^c?{a{b*, com extremidades nos pontos A e B.

<R+>
<F->
      Bo   
        *
       *
      * 
     *
  Ao
<F+>

O segmento ^c?{a{b* ("tem comeo e fim") ^c?{a{b*  uma das arestas do cubo.
<R->

  Nas prximas figuras, _`[no adaptadas_`] indicamos a semirreta :,?{a{b* de origem A, e a semirreta :,?{b{a* de origem B.
<P>
<R+>
<F->
           *
          *
       Bo
        *
       *
      * 
     *
  Ao 
<F+>

A semirreta :,?{a{b* (sua origem  A e "ela no tem fim")

<F->
      Bo
        *
       *
      * 
     *
  Ao  
   *
  *
<F+>

A semirreta :,?{b{a* (sua origem  B e "ela no tem fim")
<R->

  A seguir, indicamos a reta ~:,?{a{b*.
<P>
<R+>
<F->
           *
          *
       Bo
        *
       *
      * 
     *
 Ao  
  *
 *
<F+>

A reta ~:,?{a{b* ("no tem comeo nem fim")
<R->

  Os matemticos consideram que as retas no tm largura. Para nome-las, alm de notaes como ~:,?{a{b*,  muito comum o uso de letras minsculas: r, s, t etc.
  Prolongando indefinidamente uma face de um cubo em todas as direes, como indica a figura, _`[no adaptada_`] temos um plano.
<56>
  Os planos no tm espessura. Para nome-los, usamos as letras gregas ^a (alfa), ^b (beta), ^g (gama) etc. (Adivinhe de onde vem a palavra alfabeto!)
  Agora, observe algumas situaes envolvendo pontos, retas e planos:

<R+>
_`[{figura: plano alfa no adaptado_`]
<R->

  Nesse caso, dizemos que:
<R+>
  o ponto A pertence  reta r e ao plano ^a;
  a reta r no est contida no plano ^a; na verdade, ela "fura" o plano.
<R->
  (No se esquea:  s uma representao, porque retas e planos so infinitos!)
  Aqui temos:
<P>
<R+>
<F->
          t *
r          *
::::::::::o:::::  
         * P
        *
       *   
s     * 
:::::o::::::::::
    * Q     
   * 
<F+>

 as retas r, s e t, que esto contidas no plano;
  as retas r e t so chamadas de concorrentes, porque elas se cortam, ou se cruzam, no ponto P;
  s e t tambm se cruzam, mas no ponto Q;
  as retas r e s mantm sempre a mesma distncia entre si, mesmo se prolongadas; elas no se cruzam e, por isso, dizemos que so paralelas.
<R->
  Agora voc j sabe as principais figuras bsicas: ponto, reta, segmento de reta, semirreta e plano, alm de alguns conceitos muito usados, como vrtices, arestas, faces, retas concorrentes e paralelas.
  Na Matemtica, considera-se que todas as figuras geomtricas so formadas por pontos. Retas e planos, ou mesmo retngulos e arcos, so imaginados como conjuntos de pontos. Repare que dissemos "imaginados", porque as figuras geomtricas so imaginrias.

Figuras planas e espaciais

  Na ilustrao, _`[no adaptada_`] voc pode imaginar que o plano ^a  o cho e o plano ^b  uma parede.
  O retngulo e a circunferncia esto desenhados na parede. So exemplos de figura plana, pois esto inteiramente contidos no plano ^b.
  A caixa azul, encostada na parede, representa um bloco retangular, ou paraleleppedo retangular. Esse bloco retangular tem faces no plano ^a e no plano ^b. Outras partes do bloco esto em outros planos que no aparecem na ilustrao.
<57>
  O bloco  exemplo de figura espacial, porque nunca estar contido em um s plano.
  Veja que diferenciamos as figuras planas das espaciais com base na figura geomtrica chamada plano.  por motivos como esse que o plano  uma das figuras geomtricas bsicas.

Atividades

<R+>
1. Diga qual  a figura geom-
  trica que se assemelha a cada um dos objetos:
 a) aro da cesta de basquete
 b) lata de ervilhas
 c) quadro
 d) dado

2. As sentenas seguintes se referem  situao representada na ilustrao. _`[no adaptada_`] Copie em seu caderno as sentenas corretas.
 a) A reta r est contida no 
  plano ^a.
 b) A reta s est contida no 
  plano ^a.
 c) O segmento ^c?{a{b* faz parte da reta r.
 d) As retas r e s so concor-
  rentes.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

3. Os pontos A, B, C e D esto alinhados.

<F->
::::::::::::::::::
   A   B      C   D
<F+>

Diga se o ponto C pertence ou no:
 a)  semirreta :,?{a{b*.
 b)  semirreta :,?{b{a*.
 c) ao segmento de reta ^c?{a{b*.
 d) ao segmento de reta ^c?{b{d*.

4. Marque no caderno pontos A, B e C que no estejam alinhados. Ligue os pontos e prolongue. Ficam determinadas trs retas.
 a) Uma dessas retas  ~:,?{a{b*. Indique as outras.
 b) Que figura os segmentos ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{c{a* formam?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

5. Na figura, {a{b{c{d  um retngulo. O retngulo determina dois pares de retas paralelas. Um par  ~:,?{a{b* e ~:,?{d{c*. Qual  o outro?
<P>
<F->
   l        _
 Al        _B
:::r::::::::w:::
   l        _
   l        _
   l        _
:::r::::::::w:::
 Dl        _C
   l        _
<F+>

6. D exemplos de retas concorrentes no retngulo da atividade 5.

7. O desenho _`[no adaptado_`] mostra um bloco retangular. Copie e complete as sentenas, trocando ... pela palavra correta:
 a) O ponto A  ... um do bloco retangular.
 b) O segmento ^c?{a{b*  uma ... do bloco retangular.
<P>
 c) O retngulo {a{b{c{d  uma ... do bloco retangular.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<58>
8. Cite algum detalhe que diferencia um cubo de um bloco retangular.

9. O menino Theo brinca com cubos de madeira. Ele fez uma escada com 4 degraus.
 a) Quantos cubos ele usou nessa construo?
 b) Quantos cubos ele usaria em uma escada de 8 degraus?

10. No problema anterior, para calcular a quantidade de cubos, voc deve ter feito uma adio, que segue um padro. Pensando nesse padro, responda: quantos cubos haveria em uma escada de 20 degraus?
<P>
 11. Cite uma diferena entre figuras planas e espaciais.
 12. As bolas de futebol tm a forma de uma figura geomtrica chamada esfera. Trata-se de uma figura plana ou espacial?
 13. Estas figuras espaciais chamam-se pirmides:

_`[{trs pirmides de bases diferentes: triangular, quadrangular e pentagonal_`]

  Estas outras figuras no so pirmides:

_`[{cubo, prisma de base triangular, cilindro e tronco de pirmide de base quadrangular_`]

  Cite uma diferena entre as pirmides e as outras figuras. Apresente tambm uma semelhana entre esses dois grupos.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
 Pensando em casa

14. Por que estudar as formas geomtricas? Um motivo para isso  apresentado no texto deste item. Leia o incio do texto e diga qual  o motivo apresentado.
 15. Marque 4 pontos em seu caderno, como estes:

<F->
   A     B
:::::::::::
       
  D     C
<F+>

  Cada par de pontos determina uma reta, como a reta ~:,?{a{b*. Diga quantas e quais so as retas assim determinadas.

16. Os pontos A, B e C esto alinhados. O segmento ^c?{a{b* mede 5 cm e o segmento ^c?{b{c* mede 2 cm. Represente essa situao e d a medida do segmento ^c?{a{c* quando:
 a) o ponto C est entre A e B;
 b) o ponto B est entre A e C.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

17. Diga se as seguintes figuras so espaciais ou planas:
 a) retngulo
 b) cubo
 c) cilindro
 d) quadrado

18. Cite trs diferentes objetos ou construes cuja forma seja aproximadamente a de um cilindro.
<59>
 19. Na ilustrao, _`[no adap-
  tada_`] temos um objeto com forma de cubo sobre uma mesa. Imaginando que as arestas do objeto possam ser prolongadas, aparecem retas paralelas verticais. Apresente duas dessas paralelas.
 20. Voc deve fazer uma investigao matemtica. Coloque a sua frente dois objetos com forma de bloco retangular. Um deles deve ser uma caixa de fsforos. O outro pode ser uma caixa de pasta de dentes, uma caixa de aveia etc. Conte cuidadosamente as arestas, vrtices e faces de cada bloco retangular. Depois, anote no caderno em uma tabela como esta:

_`[{tabela adaptada em quatro colunas: objeto com forma retangular, nmero de arestas, nmero de vrtices, nmero de faces_`]

 caixa de fsforos -- ''' -- ''' 
  -- '''
 ''' -- ''' -- ''' -- '''

_`[{para as atividades 21, 22 e 23, pea orientao ao professor_`]

21. O objeto da figura, _`[no adaptada_`] feito de vidro, tem 
<P>
  forma de uma pirmide com um quadrado na base. (Da posio em que  vista, a base no parece quadrada.) Quantas so as arestas dessa pirmide? E os vrtices? E as faces? (No se esquea de contar a base.)
 22. Responda s mesmas perguntas da atividade 21 para o caso de uma pirmide cuja base seja uma figura de 5 lados, ou seja, um pentgono.
 23. D o nome de pelo menos quatro figuras geomtricas que podem ser identificadas no desenho. _`[no adaptado_`] 

Desafios e surpresas

1. Um aluno disse:
  -- Retas que no se cortam sempre so paralelas.
  A professora corrigiu:
  -- No  bem assim. Retas que no se cortam e esto no mesmo plano so paralelas.
  Ela disse isso porque  possvel encontrar retas que no se cortam e no so paralelas. Voc consegue visualizar retas assim na ilustrao? _`[no adaptada_`] 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<60>
2- ngulos

  Considere os trs cantos de um esquadro.

<F->
        2
        *@ 
      *a _
    *a   _   
  *a     _           
}u-------#            
1      3        
<P>        
canto 1
            
      *a 
    *a      
  *a                
}u-------            

canto 2
          
    * 
  *a _
*a   _   
     _              

canto 3

     _
     _   
     _           
-----#           
<F+>

  Compare: o canto 3  mais aberto que o canto 2, e este  mais aberto que o canto 1.
  Cada canto do esquadro nos d a ideia de um ngulo. O ngulo de maior abertura  o maior.

<R+>
<F->
ngulo 1

      *a 
    *a      
  *a                
}u-------              

ngulo 2

    
        
                 
-------- 

ngulo 3

l     
l  
l     
v------
<F+>

O ngulo 1  menor que o ngulo 2, e este  menor que o ngulo 3.
<R->
<P>
  Agora, vamos comparar os dois ngulos a seguir: qual  o maior dos dois?

<F->
      *a       
    *a        
  *a                
}u-------   -------
<F+>

<61>
  Decalcando o primeiro ngulo numa folha e sobrepondo-o ao outro ngulo, voc perceber que os dois tm a mesma abertura, ou seja, eles so iguais.
  O tamanho de um ngulo no depende do comprimento de seus lados.
  Consideramos que os lados dos ngulos so duas semirretas de mesma origem. Essa origem comum  o vrtice do ngulo.
<P>

<F->
       A *a
       o      
     *a       
   *a                
 *a  
j:::::::o:::
O      B
<F+>

  Os lados desse ngulo so :,?{o{a* e :,?{o{b* e seu vrtice  O.
  Indicamos esse ngulo por :?{a{o{b*, :?{b{o{a* ou simplesmente por :{o.

Medida de um ngulo

  Nos segmentos de reta, medimos o comprimento. Essa medida pode ser dada em centmetros.
  Nos ngulos, medimos a abertura. Essa medida  dada em graus. Por exemplo: 30 (trinta graus), 80 (oitenta graus) etc.
  Para voc ter uma ideia das medidas em graus, veja as medidas dos ngulos do esquadro que j apresentamos.

<F->
         2
         * 
       *a _
     *a   _   
   *a     _           
 }u-------#            
 1      3 

ngulo 1: 30}

      *a 
    *a      
  *a                
}u------- 

ngulo 2: 60}

    * 
  *a _
*a   _   
     _ 
<P>
ngulo 3: 90}

     _
     _   
     _           
-----#
<F+>

<62>
  Temos outro tipo de esquadro que se diferencia do anterior pela forma e pelas medidas dos ngulos.

<F->
           2
           *
         *a _
       *a   _
     *a     _
   *a       _
 }u---------#
 1        3

ngulo 1: 45}

      *a   
    *a     
  *a       
}u------
            
ngulo 2: 45}

      *
    *a _
  *a   _
*a     _
            
ngulo 3: 90}

       _
       _
       _
       _
-------#
<F+>

  Um instrumento feito especialmente para medir ngulos  o transferidor. Veja como se utiliza esse instrumento.

<R+>
_`[{desenho de um transferidor mostrando um ngulo que mede 60}_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
  Apresentamos um transferidor que mede ngulos at 180, mas existe outro que mede ngulos at 360.

<R+>
_`[{desenho de um transferidor mostrando um ngulo que mede 315}_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<63>
O uso dos ngulos

  Os ngulos so usados nas mais diversas situaes. Veja trs exemplos.
  Apoiando uma escada na parede, ela pode ficar parada ou cair, dependendo do ngulo de sua inclinao. Se o ngulo for muito pequeno, a escada cair.
  Na descida, para no se esborrachar, o esqueitista procura o caminho de menor inclinao.
<P>
  Os manuais de instrues explicam, com o uso de ngulos, como operar o controle remoto.

<R+>
_`[{figuras: um aparelho de TV, um controle remoto e a pgina seguinte do manual de instruo: "Faixa ideal de operao do controle remoto. Distncia: Aproximadamente 5 metros do sensor remoto do aparelho. ngulo: 30} radialmente do sensor remoto do aparelho."_`]
 Legenda: Os manuais de instrues explicam, com o uso de ngulos, como operar o controle remoto.
<R->

<64>
Tipos de ngulos

  O ngulo de 90  muito importante: ele  chamado de ngulo reto. Olhando ao seu redor, certamente voc encontrar diversos ngulos retos. Por exemplo, os ngulos retos nos quatro cantos desta folha de papel, nos cantos da lousa, nos cantos das paredes etc.
  Como voc deve ter notado, o ngulo reto aparece nos quatro cantos de qualquer retngulo. O nome retngulo (reto-ngulo) reala essa propriedade de os retngulos possurem ngulos retos.

<R+>
Esse ngulo mede 90.

<F->
l
l
l
l
v-------

O smbolo _- indica o ngulo 
  reto, de 90.

+::::::::::::+::
l_-_          l_-_
r::j          h::w
l                _
l                _
r::          +::w
l_-_          l_-_
h::j::::::::::h::j
<F+>
<R->
<P>
  Observe os ngulos retos indicados nas figuras.

<R+>
_`[{duas figuras, descritas a seguir_`]
 1. Um homem em frente a uma janela. Esto marcados o ngulo de uma parede com o cho e o ngulo do lado vertical com o horizontal da janela.
 2. O mesmo homem, em p, encostado na parede. Est marcado o ngulo do eixo de simetria do corpo com o cho.
<R->

  Os ngulos menores que o reto so chamados de ngulos agudos, e os maiores que o reto, de ngulos obtusos.

<F->
ngulo agudo
           
       * 
     *a 
   *a      
 *a               
^cccccccc  

ngulo reto
  
l
l
l
l
l
v-------

ngulo obtuso

             *a
           *a
         *a 
-------*a
<F+>

<65>
Atividades

<R+>
_`[{para as atividades 24 e 25, pea orientao ao professor_`]

24. H alguma coisa muito incomum no edifcio da figura, _`[no adaptada_`] e isso tem que ver com ngulos. Explique do que se trata.
<P>
 25. Com o esquadro, veja que o ngulo :{a mede 60.

_`[{figura de um tringulo no adaptado_`]

  Da mesma forma, obtenha as medidas dos ngulos :{b e :{c.

_`[{duas figuras no adaptadas_`]

26. Nos dois tipos de esquadro, a soma das medidas dos trs ngulos  a mesma. Qual?

<F->
          *  
        *a _  
      *a   _   
    *a     _  
  *a       _  
}u---------# 
          
        *@ 
      *a _
    *a   _   
  *a     _           
}-------#            
<F+>

_`[{para as atividades 27 a 29, pea orientao ao professor_`]

27. D a medida dos ngulos :{x, :{y e :{z.

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

28. Use o transferidor e d a medida dos ngulos.

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

<66>
29. Diga quanto medem os ngulos.

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

30. Quanto mede o menor ngulo formado pelos ponteiros do relgio s 13 h? Quer uma ajuda? Voc sabe que uma volta completa corresponde a 360. Observe que, no relgio, _`[no adaptado_`] esse ngulo est dividido em 12 ngulos iguais.
<P>
  Faa os clculos e descubra o valor do ngulo procurado.

31. Determine o menor ngulo entre os ponteiros do relgio s:
 a) 14 h;
 b) 17 h.

32. Quanto mede o menor ngulo entre os ponteiros do relgio s 4 h 30 min? Quer uma ajuda? Se o ponteiro das horas, s 4 h 30 min, estivesse exatamente na marca das 4 h, teramos esse ngulo: _`[no adaptado_`]
  s 4 h 30 min, no entanto, o ponteiro pequeno no est mais na marca das 4 h.
  O ponteiro pequeno, s 4 h 30 min, j percorreu metade do caminho entre as marcas de 4 h e 5 h. (30 min  a metade de uma hora inteira.) Faa os clculos e descubra o valor desse ngulo.
 33. Quanto mede o menor ngulo entre os ponteiros do relgio s 13 h 30 min?
<R->
<67>
 Pensando em casa

<R+>
34. D exemplos de situaes em que os ngulos so usados. Se quiser, use desenhos para ilustrar a resposta.

35. Em cada frase, troque o smbolo ... pela palavra correta.
 a) O contorno de um retngulo  formado por quatro ...
 b) Os lados de um ngulo 
  so ...
 c) ngulos obtusos so maiores que o ngulo ...
 d) O instrumento construdo para medir ngulos  o ...

_`[{para as atividades 36 a 38, pea orientao ao professor_`]

36. Use o transferidor e d a medida dos seguintes ngulos:

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

37. Usando um transferidor, d as medidas dos ngulos :?{a{b{v*, :?{b{v{c* e :?{a{v{c*.

_`[{figura no adaptada_`]

38. Dos trs ngulos citados no exerccio anterior, quais so agudos? Quais so obtusos?

39. Um relgio de ponteiros est marcando exatamente 15 h.
 a) Quanto mede o menor ngulo entre os ponteiros?
 b) Quanto mede o maior ngulo?
 c) Qual  a soma das medidas dos dois ngulos anteriores?

40. Agora, o relgio marca 14 h 30 min. Quanto mede o menor ngulo entre os ponteiros? Quanto mede o maior ngulo? Qual  a soma dos dois ngulos?

41. Quanto mede o menor ngulo entre os ponteiros do relgio s:
 a) 9 h 30 min?
 b) 11 h 30 min?

42. Considere estes dois quadrilteros.

<F->
!:::::
l     _     cccccc
l     _          
l     _         
l     _             
h:::::j ^ccccccc
<F+>

a) Quanto medem os lados ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d* e ^c?{a{d*?
 b) Quanto medem os lados ^c?{e{f*, ^c?{f{g*, ^c?{g{h* e ^c?{h{e*?
 c) Usando o esquadro, d a medida dos ngulos :{d e :{b.
 d) Da mesma forma, d a medida dos ngulos :{h e :{f.
 e) Os dois quadrilteros tm formas diferentes. Qual  a causa dessa diferena?

43. Usando esquadros ou transferidor, desenhe:
 a) um ngulo reto;
 b) um ngulo de 135.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<68>
3- Polgonos: tringulos, 
  quadrilteros, pentgonos...

  Num plano, considere trs pontos, A, B e C, que no pertenam a uma mesma reta.
  Os segmentos ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{a{c*, reunidos, formam uma linha fechada. Essa linha, reunida aos pontos do plano que so interiores a ela, forma uma figura que voc conhece bem: um tringulo.
<P> 

<F->
      B
      o
     *  ?
    *    ?
   *      ?
  *        ?
 *          ?
o::::::::::o
A          C         
<F+>
 
  Os lados do tringulo {a{b{c so os segmentos ^c?{a{b*, ^c?{b{c* e ^c?{a{c*.
  O tringulo  um polgono de trs lados. Veja, agora, exemplos de polgonos de quatro lados. 
 Eles so chamados de quadrilteros.

<R+>
_`[{trs figuras no adaptadas_`]
<R->

  O contorno dos polgonos  fechado e formado por segmentos de reta, que so seus lados. Os polgonos tambm podem ter 5, 6 ou mais lados.
<P>
<R+>
_`[{desenhos de polgonos com 5, 6 e 10 lados_`]
<R->

<69>
Nomenclatura

  Veja, a seguir, a nomenclatura que usamos para os polgonos.

<F->
n.o de _  nome do
lados  _  polgono
:::::::w::::::::::::::
3     _  tringulo   
4     _  quadriltero 
5     _  pentgono    
6     _  hexgono    
7     _  heptgono    
8     _  octgono     
9     _  enegono     
10    _  decgono
<F+>

<F->
    A   B
     *:::?
    *     ?
F *       ?C
   e       i
    e     i
     e:::i 
    E   D
<F+>
  O polgono {a{b{c{d{e{f tem:
<R+>
  lados: ^c?{a{b*, ^c?{b{c*, ^c?{c{d*, ^c?{d{e*, ^c?{e{f* e ^c?{a{f*
  vrtices: A, B, C, D, E e F
  ngulos internos: :{a, :{b, :{c, :{d, :{e e :{f
<R->

O uso dos polgonos

  Os polgonos so usados nas mais diversas situaes. Veja trs exemplos de uso de polgonos:

<R+>
_`[{trs fotos seguidas de legenda_`]
 Legenda 1: Nas construes, as formas triangulares aparecem em vrios tipos de estruturas. Observe a plataforma submarina de extrao de petrleo Enchova, na bacia de Campos (RJ).
 Legenda 2: Arranjos com polgonos formam mosaicos como nesse tapete.
 Legenda 3: So comuns pisos com ladrilhos hexagonais. Observe tambm a forma octogonal do heliponto na plataforma petrolfera.
<R->

<70>
Atividades

<R+>
44. Algumas das figuras geom-
  tricas _`[no adaptadas_`] so polgonos e outras no. Quais so os polgonos?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

45. Nos esportes, encontramos muitos dos prefixos que aparecem nos nomes dos polgonos, e com o mesmo significado. Assim como um *tri*ngulo tem *trs* ngulos, um *tri*campeo foi campeo *trs* vezes, consecutivas ou no. Explique o significado dos prefixos nas sentenas.
<P>
 a) Em 2002, a Seleo Brasileira sagrou-se *penta*campe mundial de futebol.
 b) A dupla masculina Ricardo e Emanuel conquistou o *hexa*-
  campeonato do Circuito Mundial de vlei de praia, em 2004.
 c) Em 2004, o alemo Michael Schumacher, batendo todos os recordes, tornou-se *hepta*-
  campeo da Frmula 1.

_`[{para as atividades de 46 a 49, pea orientao ao professor_`]

46. O desenho _`[no adaptado_`] mostra uma figura espacial cujas faces so polgonos. Diga quantas faces tem a figura e quais so seus nomes.
 47. De acordo com o nmero de lados, d o nome dos polgonos. _`[no adaptados_`]
<P>
48. Considere este polgono: 
  _`[no adaptado_`]
  Use rgua e transferidor para responder:
 a) Quanto mede o lado ^c?{d{e*? E o lado ^c?{a{f*?
 b) Quanto mede o ngulo interno :?{a{f{e*? E o ngulo interno :?{b{c{d*?

49. No polgono, _`[no adaptado_`] quais dos ngulos internos so agudos? E retos? E obtusos?

<71>
Pensando em casa

_`[{para as atividades de 50 a 55, pea orientao ao professor_`]

50. Diga se a figura apresentada  ou no um polgono.

_`[{quatro figuras no adaptadas_`]
<P>
51. Estes polgonos so convexos:
  Estes polgonos no so convexos:

_`[{seis figuras no adaptadas, sendo trs polgonos convexos e trs, no convexos_`]

  Baseado nesses exemplos, diga quais dos polgonos _`[no adaptados_`] so convexos.

52. Considere este polgono: 
  _`[no adaptado_`]
 a) Quantos so os seus lados?
 b) De acordo com o nmero de seus lados, como se chama esse polgono?
 c) Quais so os vrtices desse polgono?

53. Quantos e quais so os polgonos das faces desta figura espacial? _`[no adaptada_`]
<P>
 54. Use seu transferidor e d a medida dos ngulos internos do polgono. _`[no adaptado_`]
 55. Quanto medem os lados e os ngulos internos deste polgono? _`[no adaptado_`]
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<72>
4- Estudando algumas figuras 
  geomtricas planas

Tringulos

  Tringulos so polgonos de trs lados. Podemos diferenciar e classificar os tringulos de acordo com as medidas de seus ngulos internos:

<R+>
_`[{trs figuras no adaptadas, seguidas de legenda_`]
 Legenda 1: Tringulo obtusngulo: tem um ngulo obtuso.
 Legenda 2: Tringulo retngulo: tem um ngulo reto.
 Legenda 3: Tringulo acutngulo: tem todos os ngulos agudos.
<R->
<P>
  Tambm podemos diferenciar e classificar os tringulos de acordo com a medida de seus lados.

<R+>
_`[{trs figuras no adaptadas, seguidas de legenda_`]
 Legenda 1: Tringulo equiltero: tem os trs lados de mesmo comprimento.
 Legenda 2: Tringulo issceles: tem ao menos dois lados de mesmo comprimento.
 Legenda 3: Tringulo escaleno: tem os trs lados com medidas desiguais.
<R->

  Observe os traos nos lados do tringulo {a{b{c. Esses traos indicam que os lados tm a mesma medida. Da mesma forma, no tringulo {d{e{f, os traos indicam que ^c?{d{e* e ^c?{d{f* tm a mesma medida.

<73>
<P>
Quadrilteros

  Quadrilteros so polgonos de quatro lados. Alguns quadrilteros tm nomes e propriedades especiais.

  Trapzio  todo quadriltero que tem apenas dois lados paralelos.

  Lados paralelos so aqueles contidos em retas paralelas. Na figura, as retas r e s so paralelas. Por isso, o quadriltero {t{r{a{p  um trapzio.

<F->
 r     T     R
ccccccccccccccccccc
              _
              _
 s            _
--------------#------
 P           A
<F+>
<P>
  Veja outros trapzios.

<F->
    cccccccccc 
               
                
                 
------------------u 

pccccccccc 
l          
l           
l            
v-------------z
<F+>

  Paralelogramo  todo quadriltero que tem lados opostos paralelos.

  Num quadriltero, lados opostos so os dois lados que no tm extremidades comuns.
  Por exemplo, no paralelogramo {t{r{e{m, os lados opostos so ^c?{t{r* e ^c?{m{e*, e tambm ^c?{t{m* e ^c?{r{e*. Temos 
<P>
^c?{t{r* paralelo a ^c?{m{e*, e ^c?{t{m* paralelo a ^c?{r{e*.

<F->
     T      R
     ccccccc
           
          
         
 ^cccccccc
 M     E
<F+>

  Veja outros exemplos de paralelogramos.

<F->
paralelogramo       losango

     A      B        E     
     ccccccc         *a?
                   *a   ^?
               H*a       ^?F
                 ^?       *a
 ^cccccccc           ^?   *a 
 D     C             ^*a
                       G
<P>
retngulo

I              J
+::::::::::::+::
l_-_          l_-_
r::j          h::w
l                _
l                _
r::          +::w
l_-_          l_-_
h::j::::::::::h::j
M              L
<F+>

<74>
  Como se pode perceber, alguns paralelogramos recebem nomes especiais. Entre eles, temos o losango e o retngulo.

  Losango  todo paralelogramo que tem os quatro lados com a mesma medida.
<P>
  Por exemplo:

<F->
        Y            M      N
        *a?           ccccccc
      *a   ^?                                                 
  X*a       ^?Z                                  
    ^?       *a                                  
      ^?   *a     ^cccccccc               
        ^*a       O     P               
        T                                 

       Q
      *a?
    *a   ^?
D*a       ^?U
  ^?       *a
    ^?   *a 
      ^*a
      A
<F+>

  Retngulo  todo paralelogramo que tem os quatro ngulos internos retos.
<P>
  Por exemplo:

<F->
A              B  R          S
+::::::::::::+::  +::::::::+::   
l_-_          l_-_  l_-_      l_-_
r::j          h::w  r::j      h::w
l                _  l            _
l                _  l            _
l                _  l            _
r::          +::w  l            _
l_-_          l_-_  l            _
h::j::::::::::h::j  l            _
D             C   r::      +::w
                    l_-_      l_-_ 
                    h::j::::::h::j 
                    V          T
       Q             
       *a?           
     *a   ^?                                        
 D*a       ^?U                          
   ^?       *a                           
     ^?   *a                   
       ^*a                     
        A 
<F+>
<P>
  Observe o retngulo {a{b{c{d. Nele, os lados ^c?{a{b* e ^c?{d{c* tm o mesmo comprimento; os lados ^c?{b{c* e ^c?{a{d* tambm tm o mesmo comprimento. Em qualquer retngulo, os lados opostos tm o mesmo comprimento. Essa  uma das propriedades mais utilizadas dos retngulos.
  Agora, falta-nos falar ainda de um tipo de paralelogramo. Ele tem os quatro lados de mesmo comprimento e os quatro ngulos retos. Voc pode imagin-lo?

  Quadrado  todo paralelogramo que tem os quatro ngulos retos e os quatro lados com a mesma medida.

  Por exemplo, o quadriltero {q{u{a{d, que apareceu duas vezes nos exemplos anteriores,  um quadrado.

<75>
<P>
Circunferncia e crculo

  Voc j conhece a circunferncia. Agora, vamos definir essa figura.

  Circunferncia  o conjunto dos pontos do plano que tm uma distncia fixa de outro ponto, chamado centro.

  Ento, de acordo com essa definio, para construir uma circunferncia devemos ter:

<R+>
<F->
C 
:r::::l
<F+>

Um ponto C e uma distncia fixa, como 2 cm.
 Em seguida, marcamos os pontos do plano que distem 2 cm de C.
 Todos esses infinitos pontos formam a circunferncia de centro C e raio de 2 cm.
<R->
<P>
  Raio de uma circunferncia  qualquer segmento que une o centro a um ponto da circunferncia. 

  Crculo  uma circunferncia reunida com a regio interior a ela.

<F->
o::::o
C    A
<F+>

^c?{c{a*  um raio

_`[{crculo no adaptado_`]

<76>
Ao sobre composio e 
  decomposio de figuras planas

Quebra-cabea

  O professor deve distribuir aos alunos folhas de papel e, depois, dar as seguintes instrues.
<R+>
 Dobre uma folha bem na diagonal e corte-a seguindo a dobra.
<R->
<P>
  Teremos ento dois pedaos de papel, iguais e triangulares: eles sero as duas peas do quebra-
 -cabea.
  Juntando as duas peas, forme estas figuras:
       
<F->
                     
                      
     ^^              
   ^    ^             
 ^        ^            
------------u  ----------u
   
     cccccc 
             ccccccccc
                       
                        
                         
^ccccccc           cccccccccca
<F+>

  Depois, registre a montagem fazendo um desenho. A seguir do desenho, escreva o nome de cada figura montada. No caso dos trin-
<P>
gulos, classifique-os de acordo com a medida dos lados e dos ngulos.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<77>
<R+>
 Agora, pegue outra folha e faa duas dobras seguidas, assim:
 1- Dobre na diagonal
 2- Dobre sobrepondo os dois extremos da diagonal
 3- Desdobre tudo.
<R->
  Depois, recorte as quatro partes. Elas sero as peas do quebra-cabea.
  Sempre juntando as quatro peas, forme estas figuras:

<F->
          
      
                ccc  
                    
                     
----------u   ---------u  
<P>

     cccccc
          
         
        
       
^ccccccc
<F+>

  Registre a montagem fazendo um desenho. Abaixo do desenho, escreva o nome da figura montada e classifique o tringulo.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<78>
Atividades

<R+>
56. Nos tringulos a seguir, colocamos as medidas dos ngulos. Classifique-os em relao a essas medidas.
 a) :{d -- 50}
  :{e -- 90}
  :{f -- 40}
 b) :{g, :{h, :{i -- 60}
 c) :{j -- 50}
  :{k -- 30}
  :{l -- 110}
 d) :{m -- 40}
  :{n -- 70}
  :{o -- 70}

57. Considere este tringulo: 
  _`[no adaptado_`]
  Use rgua e transferidor para responder:
 a) Quanto mede o maior de seus lados?
 b) Quanto mede o maior de seus ngulos internos?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

58. Agora, indicamos as medidas dos lados. Classifique os tri-
  ngulos em relao a essas medidas.
 a) ^c?{a{b* -- 2 cm
  ^c?{b{c* -- 3 cm
  ^c?{a{c* -- 2 cm
<P>
 b) ^c?{d{e* -- 2 cm
  ^c?{d{f* -- 3 cm
  ^c?{e{f* -- 4 cm
 c) ^c?{g{h* -- 2 cm
  ^c?{g{i* -- 2 cm
  ^c?{h{i* -- 2 cm
 d) ^c?{j{l* -- 2 cm
  ^c?{l{k* -- 2 cm

59. Considere este tringulo:
  _`[no adaptado_`]
  Use rgua e transferidor para responder:
 a) O tringulo tem dois lados de mesma medida. Quanto eles medem?
 b) O tringulo tem dois ngulos internos de mesma medida. Quanto eles medem?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<79>
<P>
60. As retas ~:,?{a{b* e ~:,?{d{c* so paralelas.

<F->
     A     B
cccccccccccccccccccc
                
               
                
-----------------u-----
  D           C 
                   
<F+>

  O quadriltero {a{b{c{d:
 a)  um paralelogramo? Por qu?
 b)  um losango? Por qu?
 c)  um trapzio? Por qu?
<P>
61. As retas r e s so paralelas. As retas u e v tambm.

<F->
      l               _
   A l               _ B 
r ::::r:::::::::::+::w::::             
      l_-_         l_-_             
      r::j         h::w             
      l               _             
      l               _             
      r::         +::w
      l_-_         l_-_             
s ----v--}---------v--}----             
   D l               _ C           
      lu             v_
<F+>

  O quadriltero {a{b{c{d:
 a)  trapzio? Por qu?
 b)  paralelogramo? Por qu?
 c)  retngulo? Por qu?

62. Responda sim ou no:
 a) Quadrado  sinnimo de qua-
  driltero?
 b) Todo quadrado  um quadriltero?
<P>
 c) Todo quadriltero  um qua-
  drado?
 d) Todo quadrado  um losango?
 e) Todo losango  um quadrado?

63. O quadro _`[no adaptado_`]  retangular. Um dos lados mede o dobro do outro.
 a) Quantos centmetros de moldura sero gastos se 50 cm for a medida do lado menor?
 b) E se 50 cm for a medida do lado maior?

64. Dada a seguinte figura:

<F->
     B    A
     *:::::?
    *       ?
   *         ?
C*           ?F
  e           i
   e         i
    e       i
     e:::::i
     D    E
<F+>
<P>
a) Considere o tringulo {a{f{d. Ele  um tringulo acutngulo, retngulo ou obtusngulo? E quanto aos lados, como se classifica esse tringulo?
 b) Considere o tringulo {b{d{f. Ele  um tringulo acutngulo, retngulo ou obtusngulo? E quanto aos lados, como se classifica esse tringulo?
 c) Considere o tringulo {a{b{c. Ele  um tringulo acutngulo, retngulo ou obtusngulo? E quanto aos lados, como se classifica esse tringulo?
 d) Considere o polgono {a{b{c{d. Que tipo de quadriltero  ele?
 e) Considere o polgono {a{c{d{f. Que tipo de quadriltero  ele?
<P>
_`[{para as atividades 65 e 66, pea orientao ao professor_`]

65. O centro da circunferncia  o ponto C. Use sua rgua e determine a medida do raio.

66. Duas circunferncias, uma com raio de 1,7 cm e outra com raio de 1 cm, tm o mesmo centro C. O ponto A est na circunferncia maior.
 a) Represente essa situao com uma figura.
 b) Trace o raio ^c?{c{a*, que corta a circunferncia menor no ponto B. Faa a figura correspondente.
 c) Determine a medida do segmento ^c?{a{b*.
<R->

<80>
Pensando em casa

  Nestes exerccios, use rgua e transferidor sempre que julgar necessrio.
<P>
<R+>
67. Classifique cada tringulo de duas maneiras: em relao aos ngulos e em relao aos lados.
 a) :A -- 75}
  :B -- 75}
  :C -- 30}
  ^c?{a{c* -- 4 cm
  ^c?{b{c* -- 4 cm
 b) :D -- 110}
  ^c?{d{e* -- 4 cm
  ^c?{d{f* -- 2 cm
  ^c?{e{f* -- 5 cm
 c) :G -- 90}
  :H -- 45}
  :I -- 45}
  ^c?{g{h* -- 3 cm
  ^c?{g{i* -- 3 cm

_`[{para as atividades 68 a 70, pea orientao ao professor_`]

68. Na figura, _`[no adaptada_`] ^c?{a{c* e ^c?{b{d* so as diagonais do quadriltero {a{b{c{d.
 a) O quadriltero {a{b{c{d  de que tipo?
<P>
 b) Qual das diagonais tem comprimento maior: ^c?{a{c* ou ^c?{b{d*? Quantos centmetros ela tem a mais que a outra?
 c) O ngulo :1, formado pelas diagonais,  agudo, reto ou obtuso? E o ngulo :2?
 d) Quanto d a soma das medidas dos ngulos :1 e :2?
 e) O ngulo :?{a{b{c*, indicado na figura,  agudo, reto ou obtuso? E o ngulo :?{b{c{d*?
 f) Quanto d a soma das medidas dos ngulos :?{a{b{c* e :?{b{c{d*?

69. Na figura, _`[no adaptada_`] ^c?{a{c* e ^c?{b{d* so as diagonais do quadriltero {a{b{c{d. Essas diagonais se cruzam em O.
 a) O quadriltero {a{b{c{d  de que tipo?
 b) A diagonal ^c?{a{c* tem comprimento maior, menor ou igual a ^c?{b{d*?
<P>
 c) O ngulo :1, formado pelas diagonais,  agudo, reto ou obtuso? E o ngulo :2?
 d) Classifique o tringulo {a{b{o quanto aos lados e tambm quanto aos ngulos.
 e) Classifique os tringulos {a{b{c e {b{o{c quanto aos ngulos.

70. Na figura, _`[no adaptada_`] {a{b{c{d  um losango. As diagonais ^c?{a{c* e ^c?{b{d* se interceptam em O.
 a) Qual das diagonais tem comprimento maior: ^c?{a{c* ou ^c?{b{d*? Quantos centmetros ela tem a mais que a outra?
 b) O ngulo :1, formado pelas diagonais,  agudo, reto ou obtuso? E o ngulo :2?
 c) Classifique os tringulos {a{o{d, {a{d{c e {a{b{d quanto aos ngulos; depois, classifique-os quanto aos lados.

<81>
<P>
71. Esta figura  formada por nove quadrados de mesmo tamanho, mas, com um pouco de esforo, nela podem ser vistos mais de dez quadrados. Quantos quadrados podem ser vistos na figura?

<F->
------. 
v-v-v-l
v-v-v-l
v-v-v-l
<F+>

72. Sobre a figura _`[no adap-
  tada_`] formada por quadrados de mesmo tamanho, marcamos seis quadrilteros.
  Diga qual deles :
 a) polgono; 
 b) paralelogramo; 
 c) losango;
 d) quadrado.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<P>
73. Voc j sabe o que  tringulo issceles. No entanto, a figura mostra um trapzio issceles. Explique o que  um trapzio issceles.

<F->
    cccccccccc 
               
                
                 
------------------u
<F+>

74. Diga se  verdade:
 a) Todo retngulo  paralelogramo.
 b) Todo paralelogramo  retngulo.
 c) Todo losango  paralelogramo.
 d) Todo paralelogramo  losango.

75. Em um plano ^a, considere os segmentos ^c?{c{a*, que mede 3 cm, ^c?{c{b*, que mede 5 cm, e ^c?{c{d*, que mede 8 cm. Considere tambm a circunferncia de centro C e raio 5 cm. Diga se  verdade:
 a) O ponto D est no interior da circunferncia.
 b) O ponto C est na prpria circunferncia.
 c) O ponto A est no interior da circunferncia.
 d) O ponto A est no exterior da circunferncia.
 e) O ponto B est na prpria circunferncia.

Desafios e surpresas

2. Esta figura  formada por nove quadrados de mesmo tamanho. Voc dever contar quantos so os retngulos contidos nela.
<R->

<F->
------.
v-v-v-l
v-v-v-l
v-v-v-l
<F+>

<82>
<P>
Ao sobre figuras geomtricas 
  espaciais

Construindo caixas com forma de 
  paraleleppedo e de pirmide

  Forme dupla com um colega ou uma colega.
  Vocs vo "fabricar" duas figuras espaciais para melhor entender o item que vamos estudar a seguir.
  Copiem o desenho de cada planificao em sua folha de papel quadriculado.
  Se quiserem, vocs podem duplicar os comprimentos da planificao. Assim, a caixa montada ficar bem maior.
  Colem o papel quadriculado em cartolina e recortem a planificao.
  Dobrem para montar a caixa. Depois, para ela no abrir de novo, usem fita adesiva para colar uma face na outra (as faces so os tringulos, quadrados ou retngulos que formam as caixas).
  Depois de montada a caixa, o professor vai explicar o que so vrtices, arestas e faces de uma figura espacial. Com essas informaes, preparem um relatrio assim:
<R+>
  cada caixa fabricada  mostrada com um desenho ( mo livre);
  d-se o nome da forma que a caixa tem;
  informa-se quantos vrtices, arestas e faces ela tem.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<84>
5- Estudando algumas figuras 
  geomtricas espaciais

Paraleleppedos

  Com seis retngulos de tamanhos apropriados, formamos uma caixa com forma de paraleleppedo retan-
<P>
gular. Voc pode fazer isso com cartolina.
  Para figuras geomtricas como o paraleleppedo retangular, usamos as palavras vrtice, aresta e face. Veja o significado delas na figura a seguir.
  Um tipo especial e bem conhecido de paraleleppedo retangular  o cubo. Todas as suas faces so quadrados de mesmo tamanho.

<R+>
_`[{figura de um paraleleppedo retangular, destacando a face -- parte plana do slido, a aresta -- o encontro de duas faces e o vrtice -- o encontro de duas ou mais arestas_`]
<R->

Prismas

  Os paraleleppedos so um tipo particular de figuras espaciais chamadas prismas. Veja a representao de alguns prismas.
<P>
<R+>
_`[{trs figuras: prisma reto de base triangular, prisma oblquo de base quadrada e prisma reto de base hexagonal_`]
<R->

<85>
  Os prismas sempre so formados por dois polgonos de mesmo tamanho, chamados de bases. Nos prismas retos, as outras faces so retngulos; nos prismas oblquos, so paralelogramos.

Pirmides

  As pirmides sempre so formadas por um polgono qualquer na base e tringulos nas outras faces.

<R+>
_`[{trs desenhos de pirmides de bases diferentes: triangular, quadrada e hexagonal_`]
<R->
<P>
Figuras com superfcies no 
  planas

  O plano  um tipo de superfcie.
  Na geometria, as superfcies so figuras sem espessura.
  Os prismas e as pirmides so formados por superfcies que so partes do plano, ou seja, por regies planas.
  Existem, contudo, figuras espaciais formadas por superfcies no planas. As mais conhecidas so o cilindro, o cone e a esfera.
<R+>
  Uma lata de leo sugere o cilindro. As bases do cilindro so crculos. Portanto, so superfcies planas. Mas a parte lateral do cilindro no  uma superfcie plana.
  Uma casquinha de sorvete sugere o cone.
  Uma bola de futebol sugere a esfera. 
<R->

<86>
<P>
Observe

  Compare a circunferncia, o crculo e a esfera:

<R+>
_`[{desenho de uma circunferncia, crculo, esfera_`]
<R->

  A circunferncia  uma curva plana. O crculo, contendo a circunferncia e o interior dela,  uma regio plana. A esfera  uma figura espacial: no est contida num s plano.
  Uma bola de gude tem a forma de uma esfera. A superfcie da bola no  plana:  uma superfcie esfrica.

Atividades

<R+>
_`[{para as atividades 76 e 77, pea orientao ao professor_`]

76. D o nome da figura espacial. _`[no adaptada_`] Diga tambm quantos e quais polgonos ela tem em suas faces.
 77. Diga quantos vrtices, arestas e faces tem cada um destes prismas. _`[no adaptados_`]

78. Diga quantas arestas, vrtices e faces tem:
 a) uma pirmide de base quadrada;
 b) uma pirmide de base pentagonal.

79. Imagine que voc monte duas caixas usando planificaes iguais  figura. _`[no adaptada_`] Depois, voc cola as duas bases quadradas, fazendo-as coincidir. A forma espacial resultante ter quantos vrtices, arestas e faces?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<87>
<P>
80. Veja as figuras.

<F->
!:::
l   _  
r~ ,w:::::::::
l   ~   ~   ~   _
r~ ,w:::j:::j:::j
l   _ 
h:::j

        !:::
        l   _  
!::::::r~ ,w:::
l   ~   ,   ~   _
h:::j:::r~ ,w:::j
        l   _
        h:::j

    !:::
    l   _  
!:::r~ ,w::::::
l   ,   ~   ~   _
r~ ,r:::j:::j:::j
l   l 
h:::b
<F+>
<P>
  Vou recort-las e dobr-las nas linhas pontilhadas. Tentarei fechar cada uma delas para montar uma caixa com forma de cubo. Imagine essas operaes sendo feitas e verifique em quais delas isso  possvel.
 81. Com retngulos de cartolina, fiz uma caixa com forma de paraleleppedo retangular. Na figura, esto indicadas as medidas de algumas arestas desse paraleleppedo. Para fechar a caixa, coloquei fita adesiva colorida em todas as arestas.
  Quantos centmetros de fita usei?

_`[{figura: paraleleppedo com 30 cm de comprimento, 15 cm de largura e 10 cm de altura_`]
<P>
82. Formamos paraleleppedos retangulares com cubinhos de mesmo tamanho. Quantos desses cubinhos h em cada um?

_`[{quatro figuras no adaptadas_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Pensando em casa

83. Responda:
 a) Qual  o nome desta figura espacial? _`[no adaptada_`]
 b) Quantos e quais polgonos ela tem em suas faces?
 c) Quantas arestas e vrtices ela tem?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<88>
84. Representamos a superfcie da Terra com alguns meridianos e paralelos.
   A que figura geomtrica _`[no adaptada_`] podemos associar:
 a) o planeta Terra?
 b) os paralelos?
 c) os meridianos?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

85. Qual  a figura espacial sugerida por:
 a) uma lata de ervilhas?
 b) um dado?
 c) uma caixa de fsforos?

86. Com cubos de mesmo tamanho, formamos este paraleleppedo retangular: _`[no adaptado_`]
  A aresta de cada cubo mede 2 cm. Calcule o comprimento das arestas:
 a) {a{b 
 b) {b{f 
 c) {f{g 
 d) {c{g
<P>
 e) {h{g
 f) {a{d

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

Desafios e surpresas

3. Diga quantos vrtices, arestas e faces tem uma pirmide, sabendo que sua base  um polgono de 25 lados.
 4. Diga quantos vrtices, arestas e faces tem um prisma, sabendo que sua base  um polgono de 25 lados.
 5. Veja um cubo formado por 27 cubinhos. _`[no adaptado_`]
  Esto assinaladas as arestas de um cubo menor, formado por oito cubinhos, que pode ser visto compondo o cubo grande. Quantos 
<P>
  desses cubos menores podem ser encontrados no cubo grande?
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<89>
6- Simetria axial

  Vamos estudar uma caracterstica presente em algumas figuras geomtricas, objetos e seres vivos.  a simetria axial; a palavra axial se aplica ao que tem eixo.
  Desenhamos o retngulo {a{b{c{d no papel. Marcamos os pontos M e N e depois dobramos o papel na reta ~:,?{m{n*. Veja o que acontece:
<P>
<F->
                    '   
A    M      B  M'     A==B
 pccccccgccccccc    qccccccc
 l             _    l       _
 l             _    l       _
 l             _    l       _
 l             _    l       _
 l             _    l       _
 v------=-------#    -------
D    N      C  N'     D==C
                    '
<F+>

  O lado ^c?{a{d* do retngulo cai justinho sobre o lado ^c?{b{c*. Alm disso, ^c?{a{m* e ^c?{m{b* tambm ficam superpostos, assim como ^c?{d{n* e ^c?{n{c*.  claro que marcamos M bem no meio do lado ^c?{a{b*, isto , dividindo o lado em dois segmentos de mesma medida. O mesmo foi feito com o ponto N.
  Na situao mostrada, dizemos que:
<R+>
  a reta ~:,?{m{n*  eixo de simetria do retngulo;
<P>
  os vrtices A e B so sim-
  tricos, assim como os vrtices D e C;
  o retngulo tem simetria axial.
<R->
  O retngulo {a{b{c{d tem outro eixo de simetria, determinado pelos pontos mdios dos lados ^c?{a{d* e ^c?{b{c*.

<F->
     A             B     
      pcccccccccccccc   
      l              _   
      l              _          
~ ,~ ,r~ , ~ , ~ , ~ w~ ,~ ,         
    Pl              _Q         
      l              _          
      v--------------#  
     D             C     
                 
  P             Q
 aaqccccccccccccccaa          
   l              _          
   l              _          
   v--------------#  
 A==D         B==C
<F+>
<P>
  Se uma reta  eixo de simetria de uma figura, dobrando-se o desenho no eixo, as duas partes devem ficar perfeitamente superpostas. Por isso, pode-se notar que a reta ~:,?{b{d* no  eixo de sime-
 tria do retngulo, apesar de dividi-lo em duas partes de mesmo tamanho:

<F->
 A            B^  
  pcccccccccccc
  l            _
  l            _            
  l            _           
  l            _
  l            _
  l            _
  -------------#   
^D           C
<F+>

<90>
  As figuras que tm eixos de simetria nos do a impresso de serem mais organizadas, mais regulares. Por exemplo, compare estes dois pentgonos:
<P>
<R+>
_`[{figuras: pentgono comum e pentgono regular e seus eixos_`]
<R->

  Figuras com eixos de simetria tambm so mais fceis de serem desenhadas. Da mesma forma, objetos com eixos de simetria tambm so de produo mais fcil e mais prticos em termos de uso. No caso de objetos tridimensionais o correto  se referir a plano de simetria, mas, neste estudo, vamos nos limitar aos casos planos. Assim, nas figuras seguintes, consideramos apenas as vistas de frente.

<R+>
_`[{trs fotos: um sof, um avio e a fachada da igreja Matriz de Santo Antonio, Jacutinga (MG)_`]
<R->

  Essas vistas frontais do sof, do avio e da igreja tm simetria axial, o que sugere que o sof, o avio e a igreja reais tenham plano de simetria. No caso do avio, essa simetria  necessria: sem ela seria muito difcil voar. No caso da igreja, pode ser que a simetria ocorra somente na fachada; afinal no vemos os fundos do prdio. A simetria axial tambm aparece com muita frequncia nos seres da Natureza.
  Conhecendo a simetria axial, voc poder descrever com mais preciso figuras, objetos e seres vivos. Aos poucos, ver que esse conhecimento tem vrias aplicaes.

Atividades

<R+>
_`[{para as atividades 87 a 93, pea orientao ao professor_`]

87. No desenho, _`[no adaptado_`] a letra A tem um eixo de simetria vertical e a letra B, um eixo de simetria horizontal.
 a) Que letras tm eixo de simetria vertical?
 b) Quais delas tm eixo de simetria horizontal?
 88. Usando rgua, mea o que for necessrio e copie a figura. _`[no adaptada_`] Depois, desenhe a simtrica da figura em relao  reta r.
<92>
 89. Quantos so os eixos de simetria de um quadrado? Faa um desenho  mo livre e mostre todos eles.
 90. A imagem de uma figura  no espelho  simtrica  figura. _`[no adaptada_`] A superfcie do espelho funciona como eixo de simetria. Em um pedao de papel escreva a letra M (em letra de forma) e coloque o espelho nas posies mostradas na figura, para ver a imagem simtrica. Registre no caderno a figura da letra M e suas simtricas, conforme a posio do eixo.
<P>
Pensando em casa

91. Observe as figuras: _`[no 
  adaptadas_`]
  Faa um desenho  mo livre das figuras e trace seus eixos de simetria.
 92. D trs exemplos de objetos ou seres vivos que tenham um ou mais eixos de simetria. 
  Faa um desenho  mo livre para mostrar o eixo. (No vale copiar do livro!)
 93. Desenhe tringulos como estes _`[no adaptados_`] em seu caderno. Voc pode faz-lo aproximadamente, desenhando  mo livre, mas pode tambm usar rgua e compasso. Depois, trace os eixos de simetria que descobrir e diga qual deles tem um eixo de simetria e qual tem trs eixos.

<93>
<P>
Ao sobre simetria

Em busca do eixo

 Copie as figuras _`[no adap-
  tadas_`] em papel quadriculado, mas -- ateno! -- duplique os comprimentos, para que a figura fique maior.
  Recorte as figuras.
  Dobrando, encontre todos os eixos de simetria de cada figura. Trace esses eixos em cada uma delas.
  No final, cole as figuras numa folha grande. Indique o nome de cada figura e quantos eixos de simetria ela tem, como neste exemplo: _`[no adaptado_`]
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Segunda Parte
